Capítulo 4 Parámetros Poblacionales

Si conocemos la distribución de \(T\) (cuando sea posible) es importante extraer cierta información que nos ayude a sacar conclusiones sobre los tiempos de supervivencia; a saber, información sobre su(s) parámetro(s). Aunque es habitual pensar a \(T\) como una variable aleatoria continua, a continuación presentaremos parámetros poblacionales en términos de la función de superviviencia para el caso continuo y discreto.

4.1 Media

Caso continuo

Para el caso continuo se tiene:

\[ \mu=\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty}\mathbb{P}(T>t)=\int_{0}^{\infty}S(t)dt \]

La demostración se queda como ejercicio al alumno.

Caso discreto

\(\mu\) en este caso es de la forma:

\[ \mu=\mathbb{E}[T]=\sum_{k=1}^{\infty}u_kf(u_k)=\sum_{k=1}^{\infty}S(u_k) \]

La demostración se queda como ejercicio al alumno.

4.2 Varianza

Caso continuo

Para este caso la varianza se ve como:

\[ \sigma^2=Var[T]=\mathbb{E}[T^2]-(\mathbb{E}[T])^2=2\int_{0}^{\infty}tS(t)dt-\left(\int_{0}^{\infty}S(t)dt\right)^2 \]

La demostración de la igualdad anterior se obtiene si se observa que:

\[ \mathbb{E}[T^2]=\int_{0}^{\infty}t^2f(t)dt=-t^2S(t)|_0^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}tS(t)dt=2\int_{0}^{\infty}tS(t)dt \]

Y ocupando que:

\[ \mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty}S(t)dt \]

Caso discreto

De manera similar:

\[ \sigma^2=Var[T]=\mathbb{E}[T^2]-(\mathbb{E}[T])^2=2\sum_{k=1}^{\infty}u_kS(u_k)-\left(\sum_{k=1}^{\infty}S(u_k)\right)^2 \]

La demostración se queda de ejercicio al alumno.

4.3 Función de Media Residual

Para individuos de edad \(x\) este parámetro, denotado por \(mr(x)\), mide la esperanza de vida residual; esto es, “la esperanza de vida que les queda a partir de la edad \(x\)”.

Caso continuo

Se define como:

\[ mr(x)=\mathbb{E}[T-x|T>x]=\frac{\mathbb{E}[T-x]}{\mathbb{P}(T>x)}=\frac{\int_x^{\infty}(t-x)f(t)dt}{S(x)}=\frac{\int_x^{\infty}S(t)dt}{S(x)} \]

Caso discreto

Para este caso es:

\[ mr(u_x)=\frac{\sum_{k=x}^{\infty}S(u_k)}{S(u_x)} \]

4.4 Cuantiles de Orden \(p\)

El cálculo de diversos cuantiles nos permitirá hacer comparaciones entre diversos grupos de sujetos, además de obtener información sobre los tiempos de falla, por ejemplo, el tiempo mediano de falla (a veces es mejor el cálculo de la mediana que la media).

Caso continuo

El cuantil o percentil, \(t_p\), de orden \(p\) de la variable aleatoria continua \(T\) será aquel que:

\[ S(t_p)=1-p \]

Si queremos el tiempo mediano de los tiempos de supervivencia entonces debemos calcular \(t_{0.5}\) talque:

\[ S(t_{0.5})=0.5 \]

Caso discreto

En este caso \(t_p\) es: \[ t_p=inf\{t: S(t) \leq 1-p\} \]

Ejemplo 1

Siguiendo el ejemplo presentado en la sección 3.2, se tiene lo siguiente:

  • Función de supervivencia de \(T\): \(S(t) = \mathbb{P}(T>t)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \mbox{si }t=1\\\frac{2}{3} & \mbox{si } t=2\\\frac{1}{3} & \mbox{si } t = 3\\0 & \mbox{si }t>3\end{array}\right.\)
  • Función de riesgo: \(h(t) =\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & \mbox{si }t=1\\\frac{1}{2} & \mbox{si } t=2\\\ 1 & \mbox{si } t = 3\end{array}\right.\)
  • \(\mu = \mathbb{E}(T) = \sum\limits_{t = 1}^3S(t) = \sum\limits_{t = 1}^3t\cdot f(t) = 2\).
  • \(mrl(2) = \frac{\sum\limits_{k = 2}^\infty S(u_k)}{S(2)} = \frac{2/3+1/3+0}{2/3} = \frac{3}{2} = 1.5\).
  • \(t_{0.75} = inf\{t: S(t) \leq 0.15\} = 3\)

Con la finalidad de aclarar la distribución de los cuantiles en una distribución discreta, se dejan las siguientes gráficas correspondientes a este ejercicio.

Ejemplo 2

Sea \(T\) una v.a con distribución uniforme continua en \((0,100)\) unidades días.

  1. Encontrar la función de supervivencia y evaluar la supervivencia para 30 y 35 años.
  2. Encontrar la función de riesgo y evaluar el riesgo para 60 días.
  3. Encontrar la esperanza de riesgo residual a los 75 días.

Soluciones:

  1. \[ f_T(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{100} & \forall\ \ t\in [0,100]\\ 0 & e.o.c \end{array} \right. \implies S(t) = 1-\int_0^t\frac{1}{100}dv = 1-\frac{t}{100} \] \[ \implies S(30) = \mathbb{P}(T>30) = 1-\frac{30}{100};\ \ S(35) = 1- \frac{35}{100} \]
  2. \[ h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{1}{100-t}\\ \implies h(60) = \frac{1}{100-60} = \frac{1}{40} \]
  3. \[ mrl(x) = \mathbb{E}(T-75 | T>75) = \frac{\mathbb{E}(T-75)}{\mathbb{P}(T>75)} = \frac{\int_x^\infty(t-75)f(t)dt}{S(75)} = \frac{\int_x^{100}(t-75)\frac{1}{100}dt}{1-\frac{75}{100}} \] \[ \implies mrl(75) = \frac{1}{25}\int_{75}^{100}(t-75)dt = \frac{1}{25}\left(\frac{100^2}{2}-\frac{75^2}{2}\right)-\frac{75(100-75)}{25} = \frac{25}{2} = 12.5 \] Otra solución

Demostrandose que \(\int_x^\infty(t-x)f(t) dt = \int_x^\infty S(t)dt\)

\[ \implies mrl(75) = \frac{\int_{75}^{100}(t-75)\frac{1}{100}dt}{S(75)} = \frac{\int_{75}^{100}S(75)dt}{S(75)} = 12.5 \]

4.5 Ejercicios

  1. Se tiene una variable aleatoria \(X\) con función de densidad \(f(x)=(1+2x^2)e^{-2x}\) \(x>0\)
  1. Determine la función de supervivencia \(S(x)\)
  2. Determine la función de riesgo \(h(x)\)
  3. Determine la función de media residual \(mr(x)\)
  1. De los siguientes ¿cuál(es) no podría servir como un modelo de supervivencia?
  1. \(S\left(t\right)=e{}^{\left[t-0.7\left(2^{t}-1\right)\right]}\)
  2. \(S\left(t\right)=\left(1-t\right)^{-2}\)
  1. Suponga que la curva de supervivencia estimada de un conjunto de datos es la siguiente:\
  1. Calcule la esperanza de vida residual para \(t=15\).
  2. Calcule el cuantíl correspondiente a una supervivencia del 80%
  1. Suponga que \(Z\) tiene la siguiente función de riesgo \(h(z)=\frac{1}{100-z}\) \(0<z<100\)
  1. Determine la función de supervivencia \(S(x)\)
  2. Determine la función de distribución \(F(x)\)
  3. Determine la función de probabilidad \(f(x)\)